Quaternions and Rotations in $\mathbb{E}^4$ 첫 번째

원문: 2005, Joel L. Weiner and George.R Wilkens, Quaternions and Rotations in $\mathbb{E}^4$

필요한 개념: 벡터공간, 내적, 외적, 오일러 공식, 선형변환.
(환(ring), 벡터 공간의 합, 불변부분공간, 직교여공간은 사용될 때에 주석으로 간단하게 설명)

논문의 순서는 다음과 같다. 여기서는 1~2의 주제만 다루며 다음 포스트에서 3번을 다룰 예정이다.

1. Introduction
2. 내적(inner product)을 포함한 사원수환(Quaternion algebra) $\mathbb{H}$의 성질 정리
3. 단위사원수(unit Quaternion) $\mathbf{p,q}$로 회전변환 $\boldsymbol{C}_\mathbf{p,q} : \mathbb{H} \longrightarrow \mathbb{H} $ 정의 및 3차원 공간에서의 회전변환 성질 정리
4. 상미분방정식에서의 활용
5. $\mathbb{E}^4$의 직교변환에서 변하지 않는 2차원 불변부분공간(2-dimensional subspace) 찾기

연결된 포스팅 링크: 1부(1,2번), 2부(3번)

실제 사용하는 법 링크: 예시

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1. 소개

1843년 William Rowan Hamilton이 사원수를 발명함. 그에게 영예를 표하여 사원수 대수에 $\mathbb{H}$ 라는 기호를 사용하게 되었다. 곧 사람들이 $\mathbb{E}^3$* 공간의 회전에 사용될 수 있음을 발견했으며, 1855년에 Cayley가 $\mathbb{E}^4$* 공간의 회전에 사용될 수 있음을 발견하였다. 이후 Edouard Goursat에 의해 직교하는 2차원 부분공간의 회전의 곱으로 표현됨이 증명되었다.

*3, 4차원 유클리드 공간: 우리가 아는 평면, 공간좌표계와 똑같이 작동하는 기본적인 공간이라고 생각하면 된다. 3차원은 좌표 3개, 4차원은 좌표가 4개일 뿐이다.

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2. 사원수(quaternion)환* $\mathbb{H}$ 의 성질

사원수환 $\mathbb{H}$는 다음을 원소로 가지며 덧셈과 곱셈이 정의된 대수적 집합이다.

$$ \{ a \mathbf{1} + b \mathbf{i} + c \mathbf{j} + d \mathbf{k} : a, b, c, d \in \mathbb{R} \}$$

1. 합은 복소수나 벡터와 유사하게 항별로 더하며, 스칼라곱 또한 항별로 곱한다.
2. $ \{ \mathbf{1}, \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\}$를 기저(basis)로 갖는 실수벡터공간이다.
3. 각 기저의 곱은 다음과 같이 정의된다. 3차원 벡터공간의 외적(cross product)과 같다.$$ \mathbf{1}^2 =1, \mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=-1 \\ \mathbf{i} \mathbf{j}= -\mathbf{j}\mathbf{i} = \mathbf{k}, \mathbf{j}\mathbf{k}=-\mathbf{k}\mathbf{j}=\mathbf{i}, \mathbf{k}\mathbf{i}=-\mathbf{i}\mathbf{k}=\mathbf{j} $$
4. 사원수는 스칼라와 벡터 파트로 분리해서 볼 수 있다. $q_0=q_0 \mathbf{1}, \vec{q}=q_1 \mathbf{i}+q_2 \mathbf{j}+q_3 \mathbf{k}$   $$\mathbf{q}= q_0 \mathbf{1}+q_1 \mathbf{i}+q_2\mathbf{j}+q_3\mathbf{k} = q_0 +\vec{q} $$
5. 두 사원수의 곱은 아래와 같다. 아래 세 번째 단계에서 분배법칙을 적용해야 한다.**$$\begin{split} \mathbf{p}\mathbf{q}&=(p_0 +\vec{p})(q_0+\vec{q}) \\ &=(q_0 \mathbf{1}+q_1 \mathbf{i}+ q_2 \mathbf{j}+ q_3 \mathbf{k} )(p_0 \mathbf{1} +p_1 \mathbf{i} + p_2 \mathbf{j} + p_3 \mathbf{k} ) \\ &=(p_0 q_0 - \vec{p} \cdot \vec{q})+(p_0 \vec{q}+q_0 \vec{p_0} + \vec{p} \times \vec{q}) \end{split} $$
6. $\bar{\mathbf{q}} =q_0 - \vec{q}$ 를 $\mathbf{q}$의 켤레(conjugation) 사원수라고 한다.

 

위의 정의를 활용하여 다음과 같은 성질을 찾을 수 있다.

$$ \overline{ \mathbf{pq} } = \overline{ \mathbf{q} }\, \overline{ \mathbf{p} } $$
$$ \mathbf{q} \overline{ \mathbf{q} } = q_0 ^2 + q_1 ^2 +q_2 ^2 + q_3 ^2 = \overline{ \mathbf{q} } \mathbf{q} $$

$\mathbb{H}$는 유클리드 4차원 공간 $\mathbb{E}^4$의 한 점$(q_0,q_1,q_2,q_3)$에 대응시킬 수 있다. 따라서 우리가 좌표공간에서 흔히 쓰는 내적(항끼리 곱하여 더하는 것)도 정의가 가능하다. 두 사원수 $\mathbf{p,q}$의 내적을 $<\mathbf{p,q}>$으로 정의하면 다음이 성립함을 계산을 통해 쉽게 알 수 있다.
$$\mathbf{q} \overline{ \mathbf{q} } = <\mathbf{q,q}>$$
$$\mathbf{p} \overline{ \mathbf{q} } + \mathbf{q} \overline{ \mathbf{p} } = 2 <\mathbf{p,q}> (1)$$

또한 두 사원수 $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ 가 수직일 필요충분조건은 $\mathbf{p} \overline{ \mathbf{q} } + \mathbf{q} \overline{ \mathbf{p} }=0$ 임을 알 수 있다.

사원수 $\mathbf{q}$의 노름(norm, 길이의 개념)은 $|\mathbf{q}| = \sqrt{<\mathbf{q,q}>} = \sqrt{\mathbf{q} \overline{ \mathbf{q} }} $ 으로 정의되며 스칼라 값이므로 다음이 성립한다.

$$|\mathbf{p}\mathbf{q}|^2 = <\mathbf{pq},\mathbf{pq}>= \mathbf{pq} \overline{ \mathbf{pq} }= \mathbf{pq} \overline{ \mathbf{q} } \, \overline{ \mathbf{p} }=\mathbf{p} |\mathbf{q}|^2 \overline{ \mathbf{p} }= |\mathbf{p}|^2 |\mathbf{q}|^2 $$

이로부터 아래의 중요한 결과를 얻을 수 있다.

$$|\mathbf{p}\mathbf{q}| = |\mathbf{p}| |\mathbf{q}| $$

또한, norm을 활용하면 사원수의 곱셈의 역원을 아래와 같이 잘 정의할 수 있다. (곱하면 곱셈의 항등원 1이 됨을 쉽게 알 수 있다.)
$$\mathbf{q}^{-1} = \frac{\overline{ \mathbf{q} }}{|\mathbf{q}|^2}$$

사원수 $\mathbf{q}$의 norm이 1인 것을 단위사원수(unit quaternion)라고 한다.

단위사원수는 $|\mathbf{q}|=1$ 이므로 $\mathbf{q}^{-1} = \overline{ \mathbf{q} }$ 임을 알 수 있다.

특별히 기호 $\mathbf{u}$를 사용해 $\mathbf{u}^{-1} = -\mathbf{u}$ 인 것을 순단위사원수라고 한다.

순허수와 비슷한 개념으로 $q_0 = 0$ 인 단위사원수이다. (위의 6번 정의) 실제로 $\mathbf{u}^2= -1$ 이므로 -1의 제곱근이 된다.***

또한 식(1)에 의해 순단위사원수 $\mathbf{u, v}$가 서로 수직일 필요충분조건은 $\mathbf{uv}+\mathbf{vu}=0$임을 알 수 있다.

한편, $\mathbf{q}= q_0 +\vec{q}$가 단위사원수라면 $q_0 ^2 +|\vec{q}|^2 = 1$ 이므로, 실수 $\theta$와 순단위사원수 $\mathbf{u}$로 다음처럼 표현이 가능하다.
$$\mathbf{q}=\mathbf{1} \cos \theta + \mathbf{u} \sin \theta$$

오일러 공식까지 적용하면 다음과 같이 표현된다.
$$e^{u \theta} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(u \theta)^n}{n!} =\mathbf{1} \cos \theta + \mathbf{u} \sin \theta $$

조심해야할 것은 단위사원수 $\mathbf{q}$에 대해 각 $\theta$와 순단위사원수 $\mathbf{u}$가 유일하게 결정되지 않다는 점과 사원수는 곱셈에 대한 교환법칙이 성립하지 않으므로 $e^{u \theta}e^{v \phi} \neq e^{u \theta + v \phi} $, $e^{u \theta}e^{v \phi} \neq e^{v \phi} e^{u \theta} $ 이라는 점이다.

 

다음 포스트에서는 사원수가 왜 $\mathbb{E}^3$에서 회전변환이 되는지 알아볼 것이다.

*환(ring)이란 우리가 흔히 아는 실수체계의 덧셈, 곱셈과 관련된 모든 연산이 성립하지만 곱셈의 교환법칙과 곱셈의 역원의 존재만 성립하지 않는 대수적 집합을 의미한다. 사원수환에서는 곱셈의 역원이 존재하지만 교환법칙이 되지 않아 체(Field)라고 부르지 않고 환이라고 부른다.

** $\cdot$은 벡터의 내적, $\times$는 벡터의 외적이다. 두 번째 식은 편의상 벡터로 변형해 표현한 것이기 때문에 여기에서 분배법칙으로 전개하려면 벡터의 외적으로 계산하여야 한다. 또는 3번을 사용하여 본래의 식에 분배법칙으로 계산하여야 위의 결과가 나오며 계산은 크게 어렵지 않다. 앞으로 계속하여 사원수끼리의 곱셈이 등장할 때 위의 정의를 따름을 유의해야한다.

*** -1의 제곱근이 허수단위 $i$만 있는 것이 아니라 이와 같이 확장하여 정의가 가능해졌다. 고등학교 때 복소수가 수체계의 끝이라고 했지만 그 역시 거짓이었다. 실제로 수체계는 사원수 뿐만 아니라 다차원 벡터인 행렬까지 계속해서 확장이 될 수 있다.